Matemática básica Exemplos

$t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Etapa 3

Substitua $- 5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.1

Substitua $- 5$ no polinômio.

${(- 5)}^{3} - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

Etapa 3.2

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$- 125 - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

Etapa 3.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- 125 - 3 \cdot 25 - 15 \cdot - 5 + 125$

Etapa 3.4

Multiplique $- 3$ por $25$ .

$- 125 - 75 - 15 \cdot - 5 + 125$

Etapa 3.5

Subtraia $75$ de $- 125$ .

$- 200 - 15 \cdot - 5 + 125$

Etapa 3.6

Multiplique $- 15$ por $- 5$ .

$- 200 + 75 + 125$

Etapa 3.7

Some $- 200$ e $75$ .

$- 125 + 125$

Etapa 3.8

Some $- 125$ e $125$ .

$0$

Etapa 4

Como $- 5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $t + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125}{t + 5}$

Etapa 5

Divida $t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ por $t + 5$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$5$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$15 t$

$125$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			+	$t^{3}$	+	$5 t^{2}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t^{3} + 5 t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 t^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					-	$8 t^{2}$	-	$40 t$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 t^{2} - 40 t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $25 t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							+	$25 t$	+	$125$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $25 t + 125$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$
										$0$

Etapa 5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$t^{2} - 8 t + 25$

Etapa 6

Escreva $t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ como um conjunto de fatores.

$(t + 5) (t^{2} - 8 t + 25)$