Matemática básica Exemplos

$10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$

Etapa 1

Fatore $5$ de $10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$ .

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Etapa 1.1

Fatore $5$ de $10 p^{3}$ .

$5 (2 p^{3}) - 25 p^{2} + 20$

Etapa 1.2

Fatore $5$ de $- 25 p^{2}$ .

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 20$

Etapa 1.3

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 5 (4)$

Etapa 1.4

Fatore $5$ de $5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2})$ .

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$

Etapa 1.5

Fatore $5$ de $5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$ .

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2} + 4)$

Etapa 2

Fatore.

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Etapa 2.1

Fatore $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Etapa 2.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 + 4$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$16 - 20 + 4$

Etapa 2.1.3.6

Subtraia $20$ de $16$ .

$- 4 + 4$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $p - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 p^{3} - 5 p^{2} + 4}{p - 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ por $p - 2$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$p$

$2$

$2 p^{3}$

$5 p^{2}$

$0 p$

$4$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 p^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $p$ .

					$2 p^{2}$
	$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			+	$2 p^{3}$	-	$4 p^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 p^{3} - 4 p^{2}$ .

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- p^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					-	$p^{2}$	+	$2 p$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- p^{2} + 2 p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 p$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							-	$2 p$	+	$4$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 p + 4$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 p^{2} - p - 2$

Etapa 2.1.6

Escreva $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ como um conjunto de fatores.

$5 ((p - 2) (2 p^{2} - p - 2))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$5 (p - 2) (2 p^{2} - p - 2)$