Matemática básica Exemplos

$1 + a^{7}$

Etapa 1

Reordene os termos.

$a^{7} + 1$

Etapa 2

Fatore $a^{7} + 1$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 2.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{7} + 1$

Etapa 2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$- 1 + 1$

Etapa 2.3.3

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $a + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{a^{7} + 1}{a + 1}$

Etapa 2.5

Divida $a^{7} + 1$ por $a + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $a^{7}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $a^{7} + a^{6}$ .

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- a^{6}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- a^{6} - a^{5}$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $a^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $a^{5} + a^{4}$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

Etapa 2.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

Etapa 2.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- a^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

Etapa 2.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

Etapa 2.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- a^{4} - a^{3}$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

Etapa 2.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

Etapa 2.5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

Etapa 2.5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $a^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

Etapa 2.5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

Etapa 2.5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $a^{3} + a^{2}$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

Etapa 2.5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

Etapa 2.5.26

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

Etapa 2.5.27

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- a^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

Etapa 2.5.28

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

Etapa 2.5.29

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- a^{2} - a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

Etapa 2.5.30

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

Etapa 2.5.31

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

Etapa 2.5.32

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $a$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

Etapa 2.5.33

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

Etapa 2.5.34

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $a + 1$ .

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

Etapa 2.5.35

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$0$

Etapa 2.5.36

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$a^{6} - a^{5} + a^{4} - a^{3} + a^{2} - a + 1$

Etapa 2.6

Escreva $a^{7} + 1$ como um conjunto de fatores.

$(a + 1) (a^{6} - a^{5} + a^{4} - a^{3} + a^{2} - a + 1)$