Matemática básica Exemplos

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{a^{2} - 4 a - 5}$

Etapa 1

Fatore $a^{2} - 4 a - 5$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $a - 5$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

Etapa 2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{1}{a + 1}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{1}{a^{2} - 25}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1}$

Etapa 4

Para escrever $- \frac{1}{a + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

Etapa 5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a^{2} - 25) (a + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{a^{2} - 25}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{a + 1}$ por $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ .

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores de $(a^{2} - 25) (a + 1)$ .

$\frac{a + 1}{(a + 1) (a^{2} - 25)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7

Reescreva $\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a + 1 - a^{2} - - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $- 25$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} + 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.3

Some $1$ e $25$ .

$\frac{a - a^{2} + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$\frac{- a^{2} + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- a^{2} + a + 26$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $- 1$ de $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.5.2

Fatore $- 1$ de $a$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.5.3

Reescreva $26$ como $- 1 (- 26)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.5.4

Fatore $- 1$ de $- (a^{2}) - 1 (- a)$ .

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.5.5

Fatore $- 1$ de $- (a^{2} - a) - 1 (- 26)$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

Etapa 7.6

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 5^{2})}$

Etapa 7.7

Fatore.

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Etapa 7.7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 5$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) ((a + 5) (a - 5))}$

Etapa 7.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a + 5) (a - 5)}$