Matemática básica Exemplos

$a^{5} - 32$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{5} - 32$

Etapa 3.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$32 - 32$

Etapa 3.3

Subtraia $32$ de $32$ .

$0$

Etapa 4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $a - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{a^{5} - 32}{a - 2}$

Etapa 5

Divida $a^{5} - 32$ por $a - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $a^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $a^{5} - 2 a^{4}$ .

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 a^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 a^{4} - 4 a^{3}$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 a^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 a^{3} - 8 a^{2}$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

Etapa 5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

Etapa 5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 a^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

Etapa 5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

Etapa 5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 a^{2} - 16 a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

Etapa 5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

Etapa 5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

Etapa 5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 a$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $a$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

Etapa 5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

Etapa 5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 a - 32$ .

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

Etapa 5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

$0$

Etapa 5.26

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16$

Etapa 6

Escreva $a^{5} - 32$ como um conjunto de fatores.

$(a - 2) (a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16)$