Matemática básica Exemplos

$(1 - y) ((2 - y) (- 3 - y)) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1

Simplifique $(1 - y) (2 - y) (- 3 - y) - 24 + 12 y$ .

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Expanda $(1 - y) (2 - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 (2 - y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$(2 - y - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(2 - y - 2 y - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.1.5.1

Mova $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(2 - y - 2 y + 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.1.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$(2 - y - 2 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $2 y$ de $- y$ .

$(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.3

Expanda $(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 \cdot - 3 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 6 - 2 y - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y \cdot y + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.5.1

Mova $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 (y \cdot y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.7

Mova $- 3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{2} y - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.9

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.9.1

Mova $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y \cdot y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.9.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.9.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y^{1} y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{1 + 2} - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.4.9.3

Some $1$ e $2$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.5

Combine os termos opostos em $- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3}$ .

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Etapa 1.1.5.1

Subtraia $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 0 - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $- 6 - 2 y + 9 y$ e $0$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.1.6

Some $- 2 y$ e $9 y$ .

$- 6 + 7 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Etapa 1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.2.1

Subtraia $24$ de $- 6$ .

$7 y - y^{3} - 30 + 12 y = 0$

Etapa 1.2.2

Some $7 y$ e $12 y$ .

$19 y - y^{3} - 30 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $- 1$ de $19 y - y^{3} - 30$ .

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Etapa 2.1.1

Reordene $19 y$ e $- y^{3}$ .

$- y^{3} + 19 y - 30 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$- (y^{3}) + 19 y - 30 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $- 1$ de $19 y$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 30 = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $- 30$ como $- 1 (30)$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (y^{3}) - (- 19 y)$ .

$- (y^{3} - 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (y^{3} - 19 y) - 1 (30)$ .

$- (y^{3} - 19 y + 30) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $y^{3} - 19 y + 30$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Etapa 2.2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 19 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 19 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 19$ por $2$ .

$8 - 38 + 30$

Etapa 2.2.3.4

Subtraia $38$ de $8$ .

$- 30 + 30$

Etapa 2.2.3.5

Some $- 30$ e $30$ .

$0$

Etapa 2.2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $y - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{y^{3} - 19 y + 30}{y - 2}$

Etapa 2.2.5

Divida $y^{3} - 19 y + 30$ por $y - 2$ .

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Etapa 2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$19 y$

$30$

Etapa 2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$

Etapa 2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Etapa 2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{3} - 2 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Etapa 2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Etapa 2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Etapa 2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Etapa 2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Etapa 2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 y^{2} - 4 y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Etapa 2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$

Etapa 2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Etapa 2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Etapa 2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							-	$15 y$	+	$30$

Etapa 2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 y + 30$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$

Etapa 2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$
										$0$

Etapa 2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$y^{2} + 2 y - 15$

Etapa 2.2.6

Escreva $y^{3} - 19 y + 30$ como um conjunto de fatores.

$- ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 15)) = 0$

Etapa 2.3

Fatore.

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Etapa 2.3.1

Fatore $y^{2} + 2 y - 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $y^{2} + 2 y - 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((y - 2) ((y - 3) (y + 5))) = 0$

Etapa 2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- ((y - 2) (y - 3) (y + 5)) = 0$

Etapa 2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Etapa 4

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 5

Defina $y - 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $y - 3$ como igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 3$

Etapa 6

Defina $y + 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 6.1

Defina $y + 5$ como igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = - 5$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$ verdadeiro.

$y = 2, 3, - 5$