Matemática básica Exemplos

$\frac{5 y - 5}{y - 3} = \frac{2 y + 3}{y + 2} + 2$

Etapa 1

Fatore $5$ de $5 y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $5$ de $5 y$ .

$\frac{5 (y) - 5}{y - 3} = \frac{2 y + 3}{y + 2} + 2$

Etapa 1.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (y) + 5 (- 1)}{y - 3} = \frac{2 y + 3}{y + 2} + 2$

Etapa 1.3

Fatore $5$ de $5 (y) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (y - 1)}{y - 3} = \frac{2 y + 3}{y + 2} + 2$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 3, y + 2, 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $y - 3$ é o próprio $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $y + 2$ é o próprio $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $y - 3, y + 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y - 3) (y + 2)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{5 (y - 1)}{y - 3} = \frac{2 y + 3}{y + 2} + 2$ por $(y - 3) (y + 2)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{5 (y - 1)}{y - 3} = \frac{2 y + 3}{y + 2} + 2$ por $(y - 3) (y + 2)$ .

$\frac{5 (y - 1)}{y - 3} ((y - 3) (y + 2)) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (y - 1)}{y - 3} ((y - 3) (y + 2)) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$5 (y - 1) (y + 2) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 y + 5 \cdot - 1) (y + 2) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$(5 y - 5) (y + 2) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.2

Expanda $(5 y - 5) (y + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y (y + 2) - 5 (y + 2) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y \cdot y + 5 y \cdot 2 - 5 (y + 2) = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y \cdot y + 5 y \cdot 2 - 5 y - 5 \cdot 2 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Mova $y$ .

$5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 2 - 5 y - 5 \cdot 2 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$5 y^{2} + 5 y \cdot 2 - 5 y - 5 \cdot 2 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$5 y^{2} + 10 y - 5 y - 5 \cdot 2 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$5 y^{2} + 10 y - 5 y - 10 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $5 y$ de $10 y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y - 3) (y + 2)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Fatore $y + 2$ de $(y - 3) (y + 2)$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y + 2) (y - 3)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = \frac{2 y + 3}{y + 2} ((y + 2) (y - 3)) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = (2 y + 3) (y - 3) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(2 y + 3) (y - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y (y - 3) + 3 (y - 3) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 3 + 3 (y - 3) + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1.1

Mova $y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.3.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} + 2 y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 6 y + 3 y + 3 \cdot - 3 + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 6 y + 3 y - 9 + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.3.2

Some $- 6 y$ e $3 y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 ((y - 3) (y + 2))$

Etapa 3.3.1.4

Expanda $(y - 3) (y + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y (y + 2) - 3 (y + 2))$

Etapa 3.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y \cdot y + y \cdot 2 - 3 (y + 2))$

Etapa 3.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y \cdot y + y \cdot 2 - 3 y - 3 \cdot 2)$

Etapa 3.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.5.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y^{2} + y \cdot 2 - 3 y - 3 \cdot 2)$

Etapa 3.3.1.5.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y^{2} + 2 \cdot y - 3 y - 3 \cdot 2)$

Etapa 3.3.1.5.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y^{2} + 2 y - 3 y - 6)$

Etapa 3.3.1.5.2

Subtraia $3 y$ de $2 y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 (y^{2} - y - 6)$

Etapa 3.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 y^{2} + 2 (- y) + 2 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.7

Simplifique.

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Etapa 3.3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 y^{2} - 2 y + 2 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.7.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 2 y^{2} - 3 y - 9 + 2 y^{2} - 2 y - 12$

Etapa 3.3.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.2.1

Some $2 y^{2}$ e $2 y^{2}$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 4 y^{2} - 3 y - 9 - 2 y - 12$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2 y$ de $- 3 y$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 4 y^{2} - 5 y - 9 - 12$

Etapa 3.3.2.3

Subtraia $12$ de $- 9$ .

$5 y^{2} + 5 y - 10 = 4 y^{2} - 5 y - 21$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $4 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$5 y^{2} + 5 y - 10 - 4 y^{2} = - 5 y - 21$

Etapa 4.1.2

Some $5 y$ aos dois lados da equação.

$5 y^{2} + 5 y - 10 - 4 y^{2} + 5 y = - 21$

Etapa 4.1.3

Subtraia $4 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$y^{2} + 5 y - 10 + 5 y = - 21$

Etapa 4.1.4

Some $5 y$ e $5 y$ .

$y^{2} + 10 y - 10 = - 21$

Etapa 4.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Some $21$ aos dois lados da equação.

$y^{2} + 10 y - 10 + 21 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $- 10$ e $21$ .

$y^{2} + 10 y + 11 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 10$ e $c = 11$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $11$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $44$ de $100$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Etapa 4.5.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = - 5 \pm \sqrt{14}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - 5 + \sqrt{14}, - 5 - \sqrt{14}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = - 5 + \sqrt{14}, - 5 - \sqrt{14}$

Forma decimal:

$y = - 1.25834261 \dots, - 8.74165738 \dots$