Matemática básica Exemplos

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Etapa 1

Use a fórmula da soma do seno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.1.2

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.1.4

Multiplique $0$ por $\sin (θ)$ .

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.2

Some $\cos (θ)$ e $0$ .

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 4

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5

Multiplique $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 5.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 7.1

Fatore $\cos (θ)$ de $- \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Etapa 8

Some $\sin (θ)$ aos dois lados da equação.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Etapa 9

Substitua $\cos^{2} (θ)$ por $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Etapa 10

Resolva $θ$ .

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Etapa 10.1

Substitua $u$ por $\sin (θ)$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Etapa 10.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10.3

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 10.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.1.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Etapa 10.4.3

Simplifique $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.6

Substitua $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.8

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 10.8.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 10.9

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 10.9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 10.9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.9.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Etapa 10.9.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Etapa 10.9.4

Resolva $θ$ .

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Etapa 10.9.4.1

Remova os parênteses.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Etapa 10.9.4.2

Remova os parênteses.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Etapa 10.9.4.3

Some $3.14159265$ e $0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Etapa 10.9.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 10.9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.9.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.9.6.1

Some $2 π$ com $- 0.66623943$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.66623943 + 2 π$

Etapa 10.9.6.2

Subtraia $0.66623943$ de $2 π$ .

$5.61694587$

Etapa 10.9.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 5.61694587$

Etapa 10.9.7

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.10

Liste todas as soluções.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$