Matemática básica Exemplos

sin (\frac{π}{2} + θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Etapa 1

Use a fórmula da soma do seno para simplificar a expressão. A fórmula determina que

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

O valor exato de

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ é

1

$1$ .

1 cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.1.2

Multiplique

cos (θ)

$\cos (θ)$ por

1

$1$ .

cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.1.3

O valor exato de

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ é

0

$0$ .

cos (θ) + 0 sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.1.4

Multiplique

0

$0$ por

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Etapa 2.1.2

Some

cos (θ)

$\cos (θ)$ e

0

$0$ .

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva

tan (θ)

$\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 4

Multiplique os dois lados da equação por

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

cos (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5

Multiplique

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 5.1

Eleve

cos (θ)

$\cos (θ)$ à potência de

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5.2

Eleve

cos (θ)

$\cos (θ)$ à potência de

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) {cos}^{1} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

{cos (θ)}^{1 + 1} = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 5.4

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Etapa 6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

{cos}^{2} (θ) = - cos (θ) \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Etapa 7.1

Fatore

cos (θ)

$\cos (θ)$ de

- cos (θ)

$- \cos (θ)$ .

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) \cdot - 1 \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Etapa 8

Some

$\sin (θ)$ aos dois lados da equação.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Etapa 9

Substitua

$\cos^{2} (θ)$ por

$1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Etapa 10

Resolva

$θ$ .

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Etapa 10.1

Substitua

$u$ por

$\sin (θ)$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Etapa 10.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10.3

Substitua os valores

$a = - 1$ ,

$b = 1$ e

$c = 1$ na fórmula quadrática e resolva

$u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 10.4.1.2.1

Multiplique

$- 4$ por

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.1.2.2

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.1.3

Some

$1$ e

$4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 10.4.2

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Etapa 10.4.3

Simplifique

$\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.6

Substitua

$\sin (θ)$ por

$u$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver

$θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10.8

Resolva

$θ$ em

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 10.8.1

O intervalo do seno é

$- 1 \leq y \leq 1$ . Como

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 10.9

Resolva

$θ$ em

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Etapa 10.9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 10.9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.9.2.1

Avalie

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Etapa 10.9.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Etapa 10.9.4

Resolva

$θ$ .

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Etapa 10.9.4.1

Remova os parênteses.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Etapa 10.9.4.2

Remova os parênteses.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Etapa 10.9.4.3

Some

$3.14159265$ e

$0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Etapa 10.9.5

Encontre o período de

$\sin (θ)$ .

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Etapa 10.9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.9.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.9.5.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 10.9.6

Some

$2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.9.6.1

Some

$2 π$ com

$- 0.66623943$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.66623943 + 2 π$

Etapa 10.9.6.2

Subtraia

$0.66623943$ de

$2 π$ .

$5.61694587$

Etapa 10.9.6.3

Liste os novos ângulos.

$θ = 5.61694587$

Etapa 10.9.7

O período da função

$\sin (θ)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 10.10

Liste todas as soluções.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$