Álgebra Exemplos

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma elipse.

Equação de elipse horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de elipse vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

$a$ é a distância entre o vértice $(5, 2)$ e o ponto central $(1, 2)$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Etapa 2.3.5

Some $16$ e $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Etapa 2.3.6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Etapa 2.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = 4$

Etapa 3

$c$ é a distância entre o foco $(4, 2)$ e o centro $(1, 2)$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Etapa 3.3.5

Some $9$ e $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 3$

Etapa 4

Usando a equação $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , substitua $4$ por $a$ e $3$ por $c$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Etapa 4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Etapa 4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- b^{2} = 9 - 16$

Etapa 4.4.2

Subtraia $16$ de $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Etapa 4.5

Divida cada termo em $- b^{2} = - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.5.1

Divida cada termo em $- b^{2} = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Divida $b^{2}$ por $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Etapa 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Etapa 4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$b = \sqrt{7}$

Etapa 4.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$b = - \sqrt{7}$

Etapa 4.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 5

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

$b = \sqrt{7}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco $(4, 2)$ e o centro $(1, 2)$ determina se a elipse é vertical ou horizontal. Se a inclinação for $0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

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Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em $y$ sobre a variação em $x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em $x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em $y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de $x$ e $y$ na equação para encontrar a inclinação.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Etapa 6.4.3

Divida $0$ por $- 3$ .

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma elipse horizontal é $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ e $b = \sqrt{7}$ em $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da elipse $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da elipse.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 8.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Etapa 8.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Etapa 9