Álgebra Exemplos

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(0, 6)

$(0, 6)$ ,

(0, 1)

$(0, 1)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma hipérbole.

Equação de hipérbole horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de hipérbole vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

a

$a$ é a distância entre o vértice

(0, 1)

$(0, 1)$ e o ponto central

(0, 0)

$(0, 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

a = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia

0

$0$ de

0

$0$ .

a = \sqrt{0^{2} + {(1 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{0^{2} + {(1 - 0)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

a = \sqrt{0 + {(1 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{0 + {(1 - 0)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia

0

$0$ de

1

$1$ .

a = \sqrt{0 + 1^{2}}

$a = \sqrt{0 + 1^{2}}$

Etapa 2.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

a = \sqrt{0 + 1}

$a = \sqrt{0 + 1}$

Etapa 2.3.5

Some

0

$0$ e

1

$1$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Etapa 2.3.6

Qualquer raiz de

1

$1$ é

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Etapa 3

c

$c$ é a distância entre o foco

(0, 6)

$(0, 6)$ e o centro

(0, 0)

$(0, 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

c = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(6 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(6 - 0)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia

0

$0$ de

0

$0$ .

c = \sqrt{0^{2} + {(6 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{0^{2} + {(6 - 0)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

c = \sqrt{0 + {(6 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{0 + {(6 - 0)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia

0

$0$ de

6

$6$ .

c = \sqrt{0 + 6^{2}}

$c = \sqrt{0 + 6^{2}}$

Etapa 3.3.4

Eleve

6

$6$ à potência de

2

$2$ .

c = \sqrt{0 + 36}

$c = \sqrt{0 + 36}$

Etapa 3.3.5

Some

0

$0$ e

36

$36$ .

c = \sqrt{36}

$c = \sqrt{36}$

Etapa 3.3.6

Reescreva

36

$36$ como

6^{2}

$6^{2}$ .

c = \sqrt{6^{2}}

$c = \sqrt{6^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

Etapa 4

Usando a equação

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , substitua

1

$1$ por

a

$a$ e

6

$6$ por

c

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como

{(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$

Etapa 4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

1 + b^{2} = 6^{2}

$1 + b^{2} = 6^{2}$

Etapa 4.3

Eleve

6

$6$ à potência de

2

$2$ .

1 + b^{2} = 36

$1 + b^{2} = 36$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm

b

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

b^{2} = 36 - 1

$b^{2} = 36 - 1$

Etapa 4.4.2

Subtraia

1

$1$ de

36

$36$ .

b^{2} = 35

$b^{2} = 35$

b^{2} = 35

$b^{2} = 35$

Etapa 4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

b = \pm \sqrt{35}

$b = \pm \sqrt{35}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de

\pm

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

b = \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de

\pm

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

b = - \sqrt{35}

$b = - \sqrt{35}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

Etapa 5

b

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

b = \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco

(0, 6)

$(0, 6)$ e o centro

(0, 0)

$(0, 0)$ determina se a hipérbole é vertical ou horizontal. Se a inclinação for

0

$0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em

y

$y$ sobre a variação em

x

$x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

m = \frac{alteração em y}{alteração em x}

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em

x

$x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em

y

$y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de

x

$x$ e

y

$y$ na equação para encontrar a inclinação.

m = \frac{0 - (6)}{0 - (0)}

$m = \frac{0 - (6)}{0 - (0)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Subtraia

0

$0$ de

0

$0$ .

\frac{0 - (6)}{0}

$\frac{0 - (6)}{0}$

Etapa 6.4.2

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.5

A equação geral de uma hipérbole vertical é

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores

h = 0

$h = 0$ ,

k = 0

$k = 0$ ,

a = 1

$a = 1$ e

b = \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}$ em

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da hipérbole

\frac{{(y - (0))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$\frac{{(y - (0))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(y - (0))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$\frac{{(y - (0))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

\frac{{(y + 0)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$\frac{{(y + 0)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.1.2

Some

y

$y$ e

0

$0$ .

\frac{y^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$\frac{y^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

\frac{y^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$\frac{y^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

\frac{y^{2}}{1} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$\frac{y^{2}}{1} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2.2

Divida

y^{2}

$y^{2}$ por

1

$1$ .

y^{2} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$y^{2} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

y^{2} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1

$y^{2} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$y^{2} - \frac{{(x + 0)}^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

Etapa 8.3.2

Some

$x$ e

$0$ .

$y^{2} - \frac{x^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Reescreva

${\sqrt{35}}^{2}$ como

$35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{35}$ como

$35^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} - \frac{x^{2}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} - \frac{x^{2}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.4.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$y^{2} - \frac{x^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} - \frac{x^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.4.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} - \frac{x^{2}}{35} = 1$

Etapa 8.4.5

Avalie o expoente.

$y^{2} - \frac{x^{2}}{35} = 1$

Etapa 9