Álgebra Exemplos

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $\frac{1}{3}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = \frac{1}{3}$

Etapa 2

Esta é a forma de uma progressão geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Etapa 3

Substitua os valores de $a_{1} = 1$ e $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 4

Multiplique ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Etapa 6

Um elevado a qualquer potência é um.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Etapa 7

Esta é a fórmula para encontrar a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica. Para avaliá-la, encontre os valores de $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Etapa 8

Substitua as variáveis pelos valores conhecidos para encontrar $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 9

Multiplique $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ por $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 10

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 10.2

Combine.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Etapa 11

Aplique a propriedade distributiva.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $3$ de $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.2.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.2.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.6

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.7

Combine $- 3$ e $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.9.1

Multiplique $- 3$ por $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.9.2

Subtraia $81$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Etapa 14.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Etapa 15

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{80}{27}$ para o numerador.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Etapa 16.2

Fatore $2$ de $- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Etapa 16.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Etapa 16.4

Cancele o fator comum.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Etapa 16.5

Reescreva a expressão.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Etapa 17

Multiplique $\frac{- 40}{27}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Etapa 18

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Etapa 19

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{4} = \frac{40}{27}$