Álgebra Exemplos

{(v + w)}^{3}

${(v + w)}^{3}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

1

$1$

1 - 1

$1 - 1$

1 - 2 - 1

$1 - 2 - 1$

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de

{(a + b)}^{n}

${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente

n

$n$ e somando

1

$1$ . Os coeficientes corresponderão à linha

n + 1

$n + 1$ do triângulo. Para

{(v + w)}^{3}

${(v + w)}^{3}$ ,

n = 3

$n = 3$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha

4

$4$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra

{(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}

${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$ .

1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de

a

$a$

v

$v$ e

b

$b$

w

$w$ na expressão.

1 {(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$1 {(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique

{(v)}^{3}

${(v)}^{3}$ por

1

$1$ .

{(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

${(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4.2

Qualquer coisa elevada a

0

$0$ é

1

$1$ .

v^{3} \cdot 1 + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} \cdot 1 + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4.3

Multiplique

v^{3}

$v^{3}$ por

1

$1$ .

v^{3} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4.4

Simplifique.

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4.5

Simplifique.

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4.6

Multiplique

{(v)}^{0}

${(v)}^{0}$ por

1

$1$ .

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Etapa 4.7

Qualquer coisa elevada a

0

$0$ é

1

$1$ .

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + 1 {(w)}^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + 1 {(w)}^{3}$

Etapa 4.8

Multiplique

{(w)}^{3}

${(w)}^{3}$ por

1

$1$ .

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}$

v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}$