Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x \sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

Etapa 4.1.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 4.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Reescreva $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ como $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 7

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$