Álgebra Exemplos

$(3, \frac{1}{64})$

Etapa 1

Para encontrar uma função exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenha o ponto, defina $f (x)$ na função para o valor $y$ $\frac{1}{64}$ do ponto. Depois, defina $x$ para o valor $x$ $3$ do ponto.

$\frac{1}{64} = a^{3}$

Etapa 2

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $a^{3} = \frac{1}{64}$ .

$a^{3} = \frac{1}{64}$

Etapa 2.2

Subtraia $\frac{1}{64}$ dos dois lados da equação.

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Etapa 2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva $\frac{1}{64}$ como ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Etapa 2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = a$ e $b = \frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Combine $a$ e $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Etapa 2.3.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Etapa 2.3.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Etapa 2.3.3.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Etapa 2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Etapa 2.5

Defina $a - \frac{1}{4}$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $a - \frac{1}{4}$ como igual a $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 2.5.2

Some $\frac{1}{4}$ aos dois lados da equação.

$a = \frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Defina $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ como igual a $0$ .

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $16$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Etapa 2.6.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.2.1.1

Fatore $4$ de $16$ .

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Etapa 2.6.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Etapa 2.6.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Etapa 2.6.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Etapa 2.6.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

Etapa 2.6.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.6.2.3

Substitua os valores $a = 16$ , $b = 4$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 2.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 2.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.6.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.6.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.6.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.6.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.6.2.6.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 2.6.2.6.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.6.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.6.6

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.6.2.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Etapa 2.6.2.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.6.2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ verdadeiro.

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.8

Remova todos os valores que contêm componentes imaginários.

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Etapa 2.8.1

Não existem componentes imaginários. Some $\frac{1}{4}$ à resposta final.

$\frac{1}{4}$ é um número real

Etapa 2.8.2

A letra $i$ representa um componente imaginário e não é um número real. Não some $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ à resposta final.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ não é um número real

Etapa 2.8.3

A letra $i$ representa um componente imaginário e não é um número real. Não some $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ à resposta final.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ não é um número real

Etapa 2.8.4

A resposta final é a lista de valores que não contêm componentes imaginários.

$a = \frac{1}{4}$

Etapa 3

Substitua cada valor de $a$ de volta na função $f (x) = a^{x}$ para encontrar cada função exponencial possível.

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$