Álgebra Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Etapa 1

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(6)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Etapa 2.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(17)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(34)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Etapa 2.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Etapa 2.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(22)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(44)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Etapa 2.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Etapa 2.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Etapa 2.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Etapa 3

Como $2 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $2$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $2$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 3)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(6)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Etapa 4.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Etapa 4.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Etapa 4.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 22)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(44)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Etapa 4.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Etapa 4.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Etapa 4.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Etapa 5

Como $- 2 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 2$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 2$

Etapa 6

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(9)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(12)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(36)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(35)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(105)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(93)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(279)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Etapa 7

Como $3 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $3$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $3$

Etapa 8

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 8.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 8.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Etapa 8.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Etapa 8.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Etapa 8.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Etapa 8.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(17)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 51)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Etapa 8.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Etapa 8.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 63)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(189)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Etapa 8.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Etapa 8.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Etapa 8.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Etapa 9

Como $- 3 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 3$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 3$

Etapa 10

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 10.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 10.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Etapa 10.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Etapa 10.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(15)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(60)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Etapa 10.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Etapa 10.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(59)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(236)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Etapa 10.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Etapa 10.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(224)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(896)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Etapa 10.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Etapa 10.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Etapa 10.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Etapa 11

Como $4 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $4$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $4$

Etapa 12

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ quando $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 12.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 12.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Etapa 12.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Etapa 12.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 9)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(36)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Etapa 12.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Etapa 12.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(35)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(- 140)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Etapa 12.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Etapa 12.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 152)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(608)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Etapa 12.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Etapa 12.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Etapa 12.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Etapa 13

Como $- 4 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 4$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 4$

Etapa 14

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ quando $x = - \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 14.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 14.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- \frac{4}{3})$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Etapa 14.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Etapa 14.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(- \frac{4}{3})$ e coloque o resultado de $(\frac{4}{3})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Etapa 14.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Etapa 14.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{1}{3})$ pelo divisor $(- \frac{4}{3})$ e coloque o resultado de $(- \frac{4}{9})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Etapa 14.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Etapa 14.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- \frac{112}{9})$ pelo divisor $(- \frac{4}{3})$ e coloque o resultado de $(\frac{448}{27})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Etapa 14.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Etapa 14.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Etapa 14.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Etapa 15

Como $- \frac{4}{3} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{4}{3}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{4}{3}$

Etapa 16

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 16.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 16.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(6)$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Etapa 16.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Etapa 16.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(21)$ pelo divisor $(6)$ e coloque o resultado de $(126)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Etapa 16.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Etapa 16.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(125)$ pelo divisor $(6)$ e coloque o resultado de $(750)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Etapa 16.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Etapa 16.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(738)$ pelo divisor $(6)$ e coloque o resultado de $(4428)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Etapa 16.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Etapa 16.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Etapa 16.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Etapa 17

Como $6 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $6$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $6$

Etapa 18

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ quando $x = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 18.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 18.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 6)$ e coloque o resultado de $(- 18)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Etapa 18.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Etapa 18.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 15)$ pelo divisor $(- 6)$ e coloque o resultado de $(90)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Etapa 18.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Etapa 18.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(89)$ pelo divisor $(- 6)$ e coloque o resultado de $(- 534)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Etapa 18.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Etapa 18.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 546)$ pelo divisor $(- 6)$ e coloque o resultado de $(3276)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Etapa 18.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Etapa 18.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Etapa 18.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Etapa 19

Como $- 6 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 6$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 6$

Etapa 20

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ quando $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 20.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 20.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(12)$ e coloque o resultado de $(36)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Etapa 20.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Etapa 20.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(39)$ pelo divisor $(12)$ e coloque o resultado de $(468)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Etapa 20.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Etapa 20.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(467)$ pelo divisor $(12)$ e coloque o resultado de $(5604)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Etapa 20.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Etapa 20.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5592)$ pelo divisor $(12)$ e coloque o resultado de $(67104)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Etapa 20.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Etapa 20.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Etapa 20.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Etapa 21

Como $12 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $12$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $12$

Etapa 22

Aplique a divisão sintética em $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ quando $x = - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Etapa 22.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Etapa 22.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 12)$ e coloque o resultado de $(- 36)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Etapa 22.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Etapa 22.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 33)$ pelo divisor $(- 12)$ e coloque o resultado de $(396)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Etapa 22.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Etapa 22.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(395)$ pelo divisor $(- 12)$ e coloque o resultado de $(- 4740)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Etapa 22.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Etapa 22.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4752)$ pelo divisor $(- 12)$ e coloque o resultado de $(57024)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Etapa 22.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Etapa 22.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Etapa 22.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Etapa 23

Como $- 12 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 12$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 12$

Etapa 24

Determine os limites superior e inferior.

Limites superiores: $2, 3, 4, 6, 12$

Limites inferiores: $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Etapa 25