Álgebra Exemplos

$3 x^{5} + 14 x^{4} + 22 x^{3} + 12 x^{2} - x - 2$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$3 {(- 1)}^{5} + 14 {(- 1)}^{4} + 22 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$3 \cdot - 1 + 14 {(- 1)}^{4} + 22 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 + 14 {(- 1)}^{4} + 22 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- 3 + 14 \cdot 1 + 22 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.4

Multiplique $14$ por $1$ .

$- 3 + 14 + 22 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 3 + 14 + 22 \cdot - 1 + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.6

Multiplique $22$ por $- 1$ .

$- 3 + 14 - 22 + 12 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 3 + 14 - 22 + 12 \cdot 1 - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.8

Multiplique $12$ por $1$ .

$- 3 + 14 - 22 + 12 - (- 1) - 2$

Etapa 4.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 + 14 - 22 + 12 + 1 - 2$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $- 3$ e $14$ .

$11 - 22 + 12 + 1 - 2$

Etapa 4.2.2

Subtraia $22$ de $11$ .

$- 11 + 12 + 1 - 2$

Etapa 4.2.3

Some $- 11$ e $12$ .

$1 + 1 - 2$

Etapa 4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$2 - 2$

Etapa 4.2.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{5} + 14 x^{4} + 22 x^{3} + 12 x^{2} - x - 2}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$

	$3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 3)$ sob o próximo termo no dividendo $(14)$ .

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$
	$3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$
	$3$	$11$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(11)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 11)$ sob o próximo termo no dividendo $(22)$ .

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$
	$3$	$11$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$
	$3$	$11$	$11$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(11)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 11)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$	$- 11$
	$3$	$11$	$11$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$	$- 11$
	$3$	$11$	$11$	$1$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$	$- 11$	$- 1$
	$3$	$11$	$11$	$1$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$	$- 11$	$- 1$
	$3$	$11$	$11$	$1$	$- 2$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$	$- 11$	$- 1$	$2$
	$3$	$11$	$11$	$1$	$- 2$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$3$	$14$	$22$	$12$	$- 1$	$- 2$
		$- 3$	$- 11$	$- 11$	$- 1$	$2$
	$3$	$11$	$11$	$1$	$- 2$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{4} + 11 x^{3} + 11 x^{2} + 1 x - 2$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{4} + 11 x^{3} + 11 x^{2} + x - 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$11 x^{3} + 11 x^{2} + 3 x^{4} + x - 2 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $11 x^{2}$ de $11 x^{3} + 11 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $11 x^{2}$ de $11 x^{3}$ .

$11 x^{2} (x) + 11 x^{2} + 3 x^{4} + x - 2 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $11 x^{2}$ de $11 x^{2}$ .

$11 x^{2} (x) + 11 x^{2} (1) + 3 x^{4} + x - 2 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $11 x^{2}$ de $11 x^{2} (x) + 11 x^{2} (1)$ .

$11 x^{2} (x + 1) + 3 x^{4} + x - 2 = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $3 x^{4} + x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 7.1.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Etapa 7.1.3.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$3 {(- 1)}^{4} - 1 - 2$

Etapa 7.1.3.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$3 \cdot 1 - 1 - 2$

Etapa 7.1.3.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 1 - 2$

Etapa 7.1.3.3.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$2 - 2$

Etapa 7.1.3.3.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 7.1.3.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{4} + x - 2}{x + 1}$

Etapa 7.1.3.5

Divida $3 x^{4} + x - 2$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 7.1.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 7.1.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 7.1.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{4} + 3 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 7.1.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

Etapa 7.1.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 7.1.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 7.1.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Etapa 7.1.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Etapa 7.1.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Etapa 7.1.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

Etapa 7.1.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

Etapa 7.1.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Etapa 7.1.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 3 x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Etapa 7.1.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

Etapa 7.1.3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

Etapa 7.1.3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

Etapa 7.1.3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

Etapa 7.1.3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - 2$ .

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

Etapa 7.1.3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

$0$

Etapa 7.1.3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

Etapa 7.1.3.6

Escreva $3 x^{4} + x - 2$ como um conjunto de fatores.

$11 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $x + 1$ de $11 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Fatore $x + 1$ de $11 x^{2} (x + 1)$ .

$(x + 1) (11 x^{2}) + (x + 1) (3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Etapa 7.1.4.2

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (11 x^{2}) + (x + 1) (3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2)$ .

$(x + 1) (11 x^{2} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Etapa 7.1.5

Subtraia $3 x^{2}$ de $11 x^{2}$ .

$(x + 1) (3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Etapa 7.1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1

Reescreva $3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1

Fatore $3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 7.1.6.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Etapa 7.1.6.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$3 {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 1 + 8 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 + 8 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 3 + 8 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$- 3 + 8 + 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.6

Some $- 3$ e $8$ .

$5 + 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$5 - 3 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.8

Subtraia $3$ de $5$ .

$2 - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.3.9

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 7.1.6.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1}$

Etapa 7.1.6.1.1.5

Divida $3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 7.1.6.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Etapa 7.1.6.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.6.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.6.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Etapa 7.1.6.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.6.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.6.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 7.1.6.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} + 5 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 7.1.6.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$2 x$

Etapa 7.1.6.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.6.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.6.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.6.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - 2$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 7.1.6.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 7.1.6.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} + 5 x - 2$

Etapa 7.1.6.1.1.6

Escreva $3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + 5 x - 2)) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.2.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + 5 (x) - 2)) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.1.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + (- 1 + 6) x - 2)) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} - 1 x + 6 x - 2)) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((x + 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 6 x - 2)) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) ((x + 1) (x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(x + 1) ((x + 1) ((3 x - 1) (x + 2))) = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) ((x + 1) (3 x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 7.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x + 1) (3 x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.7.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (3 x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.7.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (3 x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 1)}^{1 + 1} (3 x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.7.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (3 x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 7.3

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.4

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 7.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 1)}^{2} (3 x - 1) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1}{3}, - 2$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 1) (x - \frac{1}{3}) (x + 2)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $3 x^{5} + 14 x^{4} + 22 x^{3} + 12 x^{2} - x - 2$ .

$x = - 1, \frac{1}{3}, - 2$

Etapa 10