Álgebra Exemplos

$2 y + 2 y \geq 4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$

Etapa 1

Reescreva de forma que $y$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Etapa 2

Simplifique $4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Some $4 y$ e $7 y$ .

$11 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Etapa 2.2

Some $2$ e $8$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Etapa 3

Some $2 y$ e $2 y$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 4 y$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $4 y$ dos dois lados da desigualdade.

$11 y + 10 + y^{2} - 4 y \leq 0$

Etapa 4.2

Subtraia $4 y$ de $11 y$ .

$7 y + 10 + y^{2} \leq 0$

Etapa 5

Converta a desigualdade em uma equação.

$7 y + 10 + y^{2} = 0$

Etapa 6

Fatore $7 y + 10 + y^{2}$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $7$ .

$2, 5$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y + 2) (y + 5) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

$y + 5 = 0$

Etapa 8

Defina $y + 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $y + 2$ como igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - 2$

Etapa 9

Defina $y + 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $y + 5$ como igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = - 5$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(y + 2) (y + 5) = 0$ verdadeiro.

$y = - 2, - 5$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < - 5$

$- 5 < y < - 2$

$y > - 2$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $y < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 8$

Etapa 12.1.2

Substitua $y$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 (- 8) + 2 (- 8) \geq 4 (- 8) + 7 (- 8) + 2 + 8 + {(- 8)}^{2}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 32$ é menor do que o lado direito $- 14$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < y < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < y < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 4$

Etapa 12.2.2

Substitua $y$ por $- 4$ na desigualdade original.

$2 (- 4) + 2 (- 4) \geq 4 (- 4) + 7 (- 4) + 2 + 8 + {(- 4)}^{2}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 16$ é maior do que o lado direito $- 18$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $y > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $y > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 0$

Etapa 12.3.2

Substitua $y$ por $0$ na desigualdade original.

$2 (0) + 2 (0) \geq 4 (0) + 7 (0) + 2 + 8 + {(0)}^{2}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < - 5$ Falso

$- 5 < y < - 2$ Verdadeiro

$y > - 2$ Falso

$y < - 5$ Falso

$- 5 < y < - 2$ Verdadeiro

$y > - 2$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq y \leq - 2$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 5 \leq y \leq - 2$

Notação de intervalo:

$[- 5, - 2]$

Etapa 15