Álgebra Exemplos

$3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Etapa 1.1.1.2

Expanda $(x - 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Etapa 1.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Etapa 1.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Etapa 1.1.1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Etapa 1.1.1.3.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Etapa 1.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Etapa 1.1.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.2

Some $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Etapa 1.2.1.3

Some $- 12 x$ e $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Etapa 1.2.1.4

Subtraia $25$ de $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 2)}^{2}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.4

Multiplique $2^{2}$ por $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.5

Fatore $2$ de $2^{2}$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1.6.1

Fatore $2$ de $4 \cdot 2$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2

Para escrever $- 13$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Combine $- 13$ e $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1

Multiplique $- 13$ por $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Etapa 1.2.5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{27}{2}$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Etapa 4