Álgebra Exemplos

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + 0$

Etapa 1.6.2

Some $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ e $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- 12 x^{2} - 12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 4.1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + 0$

Etapa 4.1.6.2

Some $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.94101027, - 0.61173103, 1.0527413$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1.94101027, - 0.61173103, 1.0527413$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.94101027$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(- 1.94101027)}^{2} - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 1.94101027$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 3.76752087 - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 12$ por $3.76752087$ .

$- 45.21025053 - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 1.94101027$ .

$- 45.21025053 + 23.29212326 + 6$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $- 45.21025053$ e $23.29212326$ .

$- 21.91812726 + 6$

Etapa 9.2.2

Some $- 21.91812726$ e $6$ .

$- 15.91812726$

Etapa 10

$x = - 1.94101027$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.94101027$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1.94101027$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.94101027$ na expressão.

$f (- 1.94101027) = - {(- 1.94101027)}^{4} - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 1.94101027$ à potência de $4$ .

$f (- 1.94101027) = - 1 \cdot 14.19421356 - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $14.19421356$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $- 1.94101027$ à potência de $3$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 - 2 \cdot - 7.31279672 + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 7.31279672$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2.1.5

Eleve $- 1.94101027$ à potência de $2$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 3 \cdot 3.76752087 + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $3$ por $3.76752087$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 11.30256263 + 5 (- 1.94101027) - 1$

Etapa 11.2.1.7

Multiplique $5$ por $- 1.94101027$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 11.30256263 - 9.70505136 - 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Some $- 14.19421356$ e $14.62559344$ .

$f (- 1.94101027) = 0.43137988 + 11.30256263 - 9.70505136 - 1$

Etapa 11.2.2.2

Some $0.43137988$ e $11.30256263$ .

$f (- 1.94101027) = 11.73394251 - 9.70505136 - 1$

Etapa 11.2.2.3

Subtraia $9.70505136$ de $11.73394251$ .

$f (- 1.94101027) = 2.02889115 - 1$

Etapa 11.2.2.4

Subtraia $1$ de $2.02889115$ .

$f (- 1.94101027) = 1.02889115$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1.02889115$ .

$y = 1.02889115$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.61173103$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(- 0.61173103)}^{2} - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Eleve $- 0.61173103$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 0.37421486 - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 12$ por $0.37421486$ .

$- 4.49057832 - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 0.61173103$ .

$- 4.49057832 + 7.34077242 + 6$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 13.2.1

Some $- 4.49057832$ e $7.34077242$ .

$2.8501941 + 6$

Etapa 13.2.2

Some $2.8501941$ e $6$ .

$8.8501941$

Etapa 14

$x = - 0.61173103$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.61173103$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 0.61173103$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.61173103$ na expressão.

$f (- 0.61173103) = - {(- 0.61173103)}^{4} - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 0.61173103$ à potência de $4$ .

$f (- 0.61173103) = - 1 \cdot 0.14003676 - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.14003676$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 0.61173103$ à potência de $3$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 - 2 \cdot - 0.22891884 + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 0.22891884$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $- 0.61173103$ à potência de $2$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 3 \cdot 0.37421486 + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $3$ por $0.37421486$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 1.12264458 + 5 (- 0.61173103) - 1$

Etapa 15.2.1.7

Multiplique $5$ por $- 0.61173103$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 1.12264458 - 3.05865517 - 1$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Some $- 0.14003676$ e $0.45783768$ .

$f (- 0.61173103) = 0.31780092 + 1.12264458 - 3.05865517 - 1$

Etapa 15.2.2.2

Some $0.31780092$ e $1.12264458$ .

$f (- 0.61173103) = 1.4404455 - 3.05865517 - 1$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $3.05865517$ de $1.4404455$ .

$f (- 0.61173103) = - 1.61820967 - 1$

Etapa 15.2.2.4

Subtraia $1$ de $- 1.61820967$ .

$f (- 0.61173103) = - 2.61820967$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2.61820967$ .

$y = - 2.61820967$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1.0527413$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(1.0527413)}^{2} - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $1.0527413$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 1.10826426 - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 12$ por $1.10826426$ .

$- 13.29917114 - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 12$ por $1.0527413$ .

$- 13.29917114 - 12.63289569 + 6$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $12.63289569$ de $- 13.29917114$ .

$- 25.93206684 + 6$

Etapa 17.2.2

Some $- 25.93206684$ e $6$ .

$- 19.93206684$

Etapa 18

$x = 1.0527413$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1.0527413$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 1.0527413$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $1.0527413$ na expressão.

$f (1.0527413) = - {(1.0527413)}^{4} - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $1.0527413$ à potência de $4$ .

$f (1.0527413) = - 1 \cdot 1.22824967 - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1.22824967$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2.1.3

Eleve $1.0527413$ à potência de $3$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2 \cdot 1.16671556 + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1.16671556$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2.1.5

Eleve $1.0527413$ à potência de $2$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3 \cdot 1.10826426 + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2.1.6

Multiplique $3$ por $1.10826426$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3.32479278 + 5 (1.0527413) - 1$

Etapa 19.2.1.7

Multiplique $5$ por $1.0527413$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3.32479278 + 5.26370654 - 1$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $2.33343113$ de $- 1.22824967$ .

$f (1.0527413) = - 3.56168081 + 3.32479278 + 5.26370654 - 1$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 3.56168081$ e $3.32479278$ .

$f (1.0527413) = - 0.23688802 + 5.26370654 - 1$

Etapa 19.2.2.3

Some $- 0.23688802$ e $5.26370654$ .

$f (1.0527413) = 5.02681851 - 1$

Etapa 19.2.2.4

Subtraia $1$ de $5.02681851$ .

$f (1.0527413) = 4.02681851$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $4.02681851$ .

$y = 4.02681851$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$ .

$(- 1.94101027, 1.02889115)$ é um máximo local

$(- 0.61173103, - 2.61820967)$ é um mínimo local

$(1.0527413, 4.02681851)$ é um máximo local

Etapa 21