Álgebra Exemplos

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Combine $π$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Etapa 4.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Combine $\frac{π \cdot 4}{3}$ e $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Etapa 4.1.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Etapa 4.1.3

Como $\frac{4 π}{3}$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ em relação a $V$ é $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ é $f' (g (V)) g' (V)$ , em que $f (V) = V^{3}$ e $g (V) = r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Etapa 4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Combine $3$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Etapa 4.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Etapa 4.3.3

Combine $r^{2}$ e $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.3.4

Mova $12$ para a esquerda de $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $3$ de $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.3.5.2.4

Divida $4 r^{2} π$ por $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Etapa 4.4

Reescreva $\frac{d}{d V} [r]$ como $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

Etapa 4.5

Reordene os fatores de $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Etapa 6

Resolva $r'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $4 π r^{2} r' = 1$ por $4 π r^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $4 π r^{2} r' = 1$ por $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Cancele o fator comum de $r^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 6.2.2.3.2

Divida $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Etapa 7

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$