Álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ .

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Etapa 2.2.2

Combine $y$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

Etapa 2.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

Etapa 2.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

Etapa 2.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $18$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Fatore $6$ de $18$ .

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4 y}{3}$ para o numerador.

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.2.2

Fatore $3$ de $18$ .

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.4

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1

Fatore $9$ de $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.4.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.4.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.5

Multiplique $2$ por $43$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

Etapa 2.4.2.6

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

Etapa 2.4.3

Mova $86$ .

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

Etapa 2.4.4

Mova $- 24 y$ .

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

Etapa 2.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.6

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 24$ e $c = - 18 x + 86$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique $- 18$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $- 12$ por $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.6

Subtraia $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.7

Fatore $24$ de $216 x - 456$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.7.1

Fatore $24$ de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.7.2

Fatore $24$ de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.7.3

Fatore $24$ de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.8

Reescreva $24 (9 x - 19)$ como $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.8.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.8.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Etapa 2.7.3

Simplifique $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4

Multiplique $- 18$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.5

Multiplique $- 12$ por $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.6

Subtraia $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.7

Fatore $24$ de $216 x - 456$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.7.1

Fatore $24$ de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.7.2

Fatore $24$ de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.7.3

Fatore $24$ de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.8

Reescreva $24 (9 x - 19)$ como $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.8.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.8.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Etapa 2.8.3

Simplifique $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 2.8.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.4

Multiplique $- 18$ por $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.5

Multiplique $- 12$ por $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.6

Subtraia $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.7

Fatore $24$ de $216 x - 456$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.7.1

Fatore $24$ de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.7.2

Fatore $24$ de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.7.3

Fatore $24$ de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.8

Reescreva $24 (9 x - 19)$ como $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.8.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.8.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Etapa 2.9.3

Simplifique $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 2.9.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 2.10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$6 (9 x - 19) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em $6 (9 x - 19) \geq 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Divida cada termo em $6 (9 x - 19) \geq 0$ por $6$ .

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 4.3.2.1.2.1.2

Divida $9 x - 19$ por $1$ .

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

Etapa 4.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$9 x - 19 \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Some $19$ aos dois lados da desigualdade.

$9 x \geq 19$

Etapa 4.3.2.3

Divida cada termo em $9 x \geq 19$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Divida cada termo em $9 x \geq 19$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Etapa 4.3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{19}{9}$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ é o domínio de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Etapa 5