Álgebra Exemplos

$c (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$	$- 1$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 1 x - 1$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} + x - 1$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique por $1$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 1 x - 1$

Etapa 7.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 1)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1)$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Etapa 8.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 8.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 8.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Etapa 8.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 8.1.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Etapa 8.1.3.6

Some $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Etapa 8.1.3.7

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 8.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Etapa 8.1.5

Divida $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ por $x + 1$ .

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Etapa 8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Etapa 8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Etapa 8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Etapa 8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Etapa 8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Etapa 8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Etapa 8.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + x - 1$

Etapa 8.1.6

Escreva $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Etapa 8.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Etapa 8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Etapa 8.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Etapa 8.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 8.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 10

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 11

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1}{2}$

Etapa 13