Álgebra Exemplos

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{5}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

Etapa 4.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$25 - 25$

Etapa 4.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{5}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{5}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(10)$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(25)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 25)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(4) x + 10$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x + 10$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 x + 10$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $10$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

Etapa 8

Some $25$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 25$

Etapa 9

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Etapa 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Etapa 11

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Etapa 11.1

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{4}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Etapa 11.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 11.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Etapa 11.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 11.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Etapa 12

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 12.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Etapa 13