Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 5$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Etapa 4.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 11$ por $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Etapa 4.1.4

Multiplique $43$ por $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $275$ de $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Etapa 4.2.2

Some $- 150$ e $215$ .

$65 - 65$

Etapa 4.2.3

Subtraia $65$ de $65$ .

$0$

Etapa 5

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(- 30)$ sob o próximo termo no dividendo $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(13)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(65)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 13$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.3

Subtraia $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Etapa 7.4.3

Simplifique $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Etapa 7.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Etapa 7.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3

Subtraia $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Etapa 7.5.3

Simplifique $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Etapa 7.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Etapa 7.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Etapa 10