Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 3$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 7$ por $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $- 27$ e $27$ .

$0 + 21 - 21$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $21$ .

$21 - 21$

Etapa 4.2.3

Subtraia $21$ de $21$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 3)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 7)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(21)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} - 7$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 7$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{7}$

Etapa 7.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{7}$

Etapa 7.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Etapa 11