Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$- 6 + 6$

Etapa 4.2.3

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Etapa 6.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Etapa 6.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

Etapa 6.15

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

Etapa 6.16

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} - x^{3} - 6 x$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $x$ de $- 6 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $u^{2} - u - 6$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 7.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.6

Fatore.

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Etapa 7.1.6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.7

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

Etapa 7.1.8

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

Etapa 7.1.9

Fatore $u^{2} - u - 6$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 7.1.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

Etapa 7.1.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 7.1.11

Fatore $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

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Etapa 7.1.11.1

Fatore $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 7.1.11.2

Fatore $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

Etapa 7.1.11.3

Fatore $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 7.4

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 7.4.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 7.4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 7.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Etapa 10