Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$1 + 8 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 8 + 7 \cdot 1 + 42 (- 1) + 26$

Etapa 4.1.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$1 + 8 + 7 + 42 (- 1) + 26$

Etapa 4.1.6

Multiplique $42$ por $- 1$ .

$1 + 8 + 7 - 42 + 26$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $8$ .

$9 + 7 - 42 + 26$

Etapa 4.2.2

Some $9$ e $7$ .

$16 - 42 + 26$

Etapa 4.2.3

Subtraia $42$ de $16$ .

$- 26 + 26$

Etapa 4.2.4

Some $- 26$ e $26$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$	$- 9$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 9)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(9)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$	$16$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(16)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 16)$ sob o próximo termo no dividendo $(42)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(26)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 26)$ sob o próximo termo no dividendo $(26)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 9 x^{2} + (16) x + 26$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Etapa 7.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

Etapa 7.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 9 \cdot 1 + 16 \cdot - 1 + 26$

Etapa 7.1.3.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 1 - 9 + 16 \cdot - 1 + 26$

Etapa 7.1.3.5

Subtraia $9$ de $- 1$ .

$- 10 + 16 \cdot - 1 + 26$

Etapa 7.1.3.6

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$- 10 - 16 + 26$

Etapa 7.1.3.7

Subtraia $16$ de $- 10$ .

$- 26 + 26$

Etapa 7.1.3.8

Some $- 26$ e $26$ .

$0$

Etapa 7.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26}{x + 1}$

Etapa 7.1.5

Divida $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ por $x + 1$ .

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Etapa 7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$26$

Etapa 7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Etapa 7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$

Etapa 7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

Etapa 7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $26 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

Etapa 7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							+	$26 x$	+	$26$

Etapa 7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $26 x + 26$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$

Etapa 7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$
										$0$

Etapa 7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 10 x + 26$

Etapa 7.1.6

Escreva $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.4

Defina $x^{2} - 10 x + 26$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x^{2} - 10 x + 26$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x^{2} - 10 x + 26 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 10$ e $c = 26$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Subtraia $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Etapa 7.4.2.3.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Etapa 7.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.3

Subtraia $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Etapa 7.4.2.4.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Etapa 7.4.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 5 + i$

Etapa 7.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.5.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Etapa 7.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.3

Subtraia $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Etapa 7.4.2.5.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Etapa 7.4.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 5 - i$

Etapa 7.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 5 + i, 5 - i$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 1) (x - 5 - i) (x - 5 + i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$ .

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

Etapa 10