Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $27$ .

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Etapa 4.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 18$ por $9$ .

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

Etapa 4.1.6

Multiplique $108$ por $3$ .

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $108$ de $81$ .

$- 27 - 162 + 324 - 135$

Etapa 4.2.2

Subtraia $162$ de $- 27$ .

$- 189 + 324 - 135$

Etapa 4.2.3

Some $- 189$ e $324$ .

$135 - 135$

Etapa 4.2.4

Subtraia $135$ de $135$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 18)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 21)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 63)$ sob o próximo termo no dividendo $(108)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(45)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(135)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 135)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Fatore $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Etapa 7.1.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Etapa 7.1.1.3.5

Subtraia $9$ de $27$ .

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

Etapa 7.1.1.3.6

Multiplique $- 21$ por $3$ .

$18 - 63 + 45$

Etapa 7.1.1.3.7

Subtraia $63$ de $18$ .

$- 45 + 45$

Etapa 7.1.1.3.8

Some $- 45$ e $45$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ por $x - 3$ .

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Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 x + 45$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 2 x - 15$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x^{2} + 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 7.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 7.1.3

Combine como fatores.

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Etapa 7.1.3.1

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 7.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

Etapa 7.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 7.3

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva ${(x - 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 7.4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 5$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 3) (x + 5)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ .

$x = 3, - 5$

Etapa 10