Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Etapa 4.1.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Etapa 4.2.2

Subtraia $15$ de $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Etapa 4.2.3

Subtraia $24$ de $- 2$ .

$- 26 + 26$

Etapa 4.2.4

Some $- 26$ e $26$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(13)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(13)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 26)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 26)$ sob o próximo termo no dividendo $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{3} - 24 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Etapa 9.5

Fatore $u^{2} - 15 u + 26$ usando o método AC.

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Etapa 9.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $26$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 13, - 2$

Etapa 9.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} - 2$ de $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} - 2$ de $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Etapa 9.9

Fatore $12 u + u^{2} - 13$ usando o método AC.

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Etapa 9.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 13$ e cuja soma é $12$ .

$- 1, 13$

Etapa 9.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 12

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 13

Defina $x + 13$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 13$ como igual a $0$ .

$x + 13 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$x = - 13$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Etapa 16