Álgebra Exemplos

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Etapa 1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

${(y - 1)}^{2} = 25 - x^{2}$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 1 = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Etapa 4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 1 = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Etapa 4.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Etapa 6.2

Defina $5 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Defina $5 + x$ como igual a $0$ .

$5 + x = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 6.3

Defina $5 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $5 - x$ como igual a $0$ .

$5 - x = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $5 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- x = - 5$

Etapa 6.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $(5 + x) (5 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 6.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 6.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 6.6.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$(5 - 8) (5 - (- 8)) \geq 0$

Etapa 6.6.1.3

O lado esquerdo $- 39$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(5 + 0) (5 - (0)) \geq 0$

Etapa 6.6.2.3

O lado esquerdo $25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 6.6.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$(5 + 8) (5 - (8)) \geq 0$

Etapa 6.6.3.3

O lado esquerdo $- 39$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 6.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq x \leq 5$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 5, 5]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 5 \leq x \leq 5}$

Etapa 8