Álgebra Exemplos

$(- 2, 6)$ , $(5, 1)$

Etapa 1

O diâmetro de um círculo é qualquer segmento de linha reta que passa pelo centro do círculo e cujas extremidades estão na circunferência do círculo. Os pontos finais do diâmetro determinados são $(- 2, 6)$ e $(5, 1)$ . O ponto central do círculo é o centro do diâmetro, que é o ponto médio entre $(- 2, 6)$ e $(5, 1)$ . Nesse caso, o ponto médio é $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .

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Etapa 1.1

Use a fórmula do ponto médio para encontrar o ponto médio do segmento de reta.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Etapa 1.2

Substitua os valores para $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 2 + 5}{2}, \frac{6 + 1}{2})$

Etapa 1.3

Some $- 2$ e $5$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{6 + 1}{2})$

Etapa 1.4

Some $6$ e $1$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$

Etapa 2

Encontre o raio $r$ para o círculo. O raio é qualquer segmento de reta do centro do círculo até qualquer ponto de sua circunferência. Nesse caso, $r$ é a distância entre $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ e $(- 2, 6)$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$r = \sqrt{{((- 2) - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = \sqrt{{(\frac{- 2 \cdot 2 - 3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 4 - 3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = \sqrt{{(- \frac{7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{2^{2}} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.11

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.12

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{6 \cdot 2 - 7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.14.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{12 - 7}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.14.2

Subtraia $7$ de $12$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.15.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 2.3.15.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

Etapa 2.3.15.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{25}{4}}$

Etapa 2.3.15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = \sqrt{\frac{49 + 25}{4}}$

Etapa 2.3.15.5

Some $49$ e $25$ .

$r = \sqrt{\frac{74}{4}}$

Etapa 2.3.16

Cancele o fator comum de $74$ e $4$ .

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Etapa 2.3.16.1

Fatore $2$ de $74$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (37)}{4}}$

Etapa 2.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.16.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \sqrt{\frac{37}{2}}$

Etapa 2.3.17

Reescreva $\sqrt{\frac{37}{2}}$ como $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.19

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.19.1

Multiplique $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.19.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.19.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.19.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.19.5

Some $1$ e $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.3.19.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.3.19.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.19.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.19.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.19.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.19.6.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.19.6.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.19.6.5

Avalie o expoente.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.20.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$r = \frac{\sqrt{37 \cdot 2}}{2}$

Etapa 2.3.20.2

Multiplique $37$ por $2$ .

$r = \frac{\sqrt{74}}{2}$

Etapa 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ é a forma de equação de um círculo com raio $r$ e $(h, k)$ como ponto central. Neste caso, $r = \frac{\sqrt{74}}{2}$ e o ponto central são $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ . A equação do círculo é ${(x - (\frac{3}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{74}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{3}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{74}}{2})}^{2}$

Etapa 4

A equação do círculo é ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{37}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{37}{2}$

Etapa 5