Álgebra Exemplos

$4$ , $2 i$

Etapa 1

Raízes são pontos em que o gráfico faz intersecção com o eixo x $(y = 0)$ .

$y = 0$ na raiz

Etapa 2

A raiz em $x = 4$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (4) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - 4$

Etapa 3

A raiz em $x = 2 i$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (2 i) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x - 2 i$

Etapa 4

A raiz em $x = - 2 i$ foi encontrada ao resolver $x$ quando $x - (- 2 i) = y$ e $y = 0$ .

O fator é $x + 2 i$

Etapa 5

Combine todos os fatores em uma única equação.

$y = (x - 4) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Etapa 6

Multiplique todos os fatores para simplificar a equação $y = (x - 4) (x - 2 i) (x + 2 i)$ .

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Etapa 6.1

Expanda $(x - 4) (x - 2 i)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x (x - 2 i) - 4 (x - 2 i)) (x + 2 i)$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- 2 i) - 4 (x - 2 i)) (x + 2 i)$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- 2 i) - 4 x - 4 (- 2 i)) (x + 2 i)$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x (- 2 i) - 4 x - 4 (- 2 i)) (x + 2 i)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = (x^{2} + x (- 2 i) - 4 x + 8 i) (x + 2 i)$

Etapa 6.3

Expanda $(x^{2} + x (- 2 i) - 4 x + 8 i) (x + 2 i)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = x^{2} x + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.4.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = x^{3} + 2 \cdot (x^{2} i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.3.1

Mova $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x \cdot x (- 2 i) + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.4

Multiplique $x (- 2 i) (2 i)$ .

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Etapa 6.4.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i) i - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 (i i)) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.4.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 (i i)) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i^{1 + 1}) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i^{2}) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 \cdot - 1) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x \cdot 4 - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.7

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 \cdot x - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.8.1

Mova $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 (x \cdot x) - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.9

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 8 i (2 i)$

Etapa 6.4.1.10

Multiplique $8 i (2 i)$ .

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Etapa 6.4.1.10.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i i$

Etapa 6.4.1.10.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 (i i)$

Etapa 6.4.1.10.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 (i i)$

Etapa 6.4.1.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i^{1 + 1}$

Etapa 6.4.1.10.5

Some $1$ e $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i^{2}$

Etapa 6.4.1.11

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 \cdot - 1$

Etapa 6.4.1.12

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Etapa 6.4.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 6.4.2.1

Combine os termos opostos em $x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x^{2} i$ e $x^{2} (- 2 i)$ .

$y = x^{3} + 2 i x^{2} - 2 i x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Etapa 6.4.2.1.2

Subtraia $2 i x^{2}$ de $2 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Etapa 6.4.2.1.3

Some $x^{3}$ e $0$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Etapa 6.4.2.1.4

Reorganize os fatores nos termos $- 8 x i$ e $8 i x$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 8 i x + 8 i x - 16$

Etapa 6.4.2.1.5

Some $- 8 i x$ e $8 i x$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} + 0 - 16$

Etapa 6.4.2.1.6

Some $x^{3} + 4 x - 4 x^{2}$ e $0$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 16$

Etapa 6.4.2.2

Mova $4 x$ .

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$

Etapa 7