Álgebra Exemplos

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ .

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{y} = 12^{x}$ .

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

Etapa 2.3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1$

Etapa 2.3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 2.3.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y} = 12^{x}$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y} = 12^{x}$ por $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 12^{x} y$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.1

Reordene os fatores em $12^{x} y$ .

$1 = y \cdot 12^{x}$

Etapa 2.3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva a equação como $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$y \cdot 12^{x} = 1$

Etapa 2.3.4.2

Divida cada termo em $y \cdot 12^{x} = 1$ por $12^{x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Divida cada termo em $y \cdot 12^{x} = 1$ por $12^{x}$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Etapa 2.3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $12^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Etapa 2.3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ é o inverso de $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

Etapa 4.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

Etapa 4.2.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{1}{12^{x}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

Etapa 4.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

Etapa 4.3.4

Reescreva $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ como $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

Etapa 4.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

Etapa 4.3.6

A base do logaritmo $12$ de $12$ é $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

Etapa 4.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

Etapa 4.3.8

A base do logaritmo $12$ de $1$ é $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

Etapa 4.3.9

Some $0$ e $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ é o inverso de $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$