Álgebra Exemplos

$f (x) = \log (\frac{x + 5}{x - 1})$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log (\frac{x + 5}{x - 1})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x + 5}{x - 1} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 5$

$x = 1$

Etapa 2.5

Consolide as soluções.

$x = - 5, 1$

Etapa 2.6

Encontre o domínio de $\frac{x + 5}{x - 1}$ .

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Etapa 2.6.1

Defina o denominador em $\frac{x + 5}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{(- 8) + 5}{(- 8) - 1} > 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 5}{(0) - 1} > 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 5$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 5}{(4) - 1} > 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $x > 1$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x + 5}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 5, x > 1}$

Etapa 6