Álgebra Exemplos

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x - 8)$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (x^{2} - 2 x - 8)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 2 x - 8 > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 2$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 8 > 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 8 > 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 8$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 8 > 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 4$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 2, x > 4}$

Etapa 4