Álgebra Exemplos

$x^{5} - 3 x^{4} - 15 x^{3} + 45 x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $x^{5} - 15 x^{3} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $- 15 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $x$ de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 15 u - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $u^{2} - 15 u - 16$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 16, 1$

Etapa 1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 16) (u + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.8

Fatore.

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Etapa 1.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.9

Fatore $3$ de $- 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48$ .

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Etapa 1.9.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 45 x^{2} + 48 = 0$

Etapa 1.9.2

Fatore $3$ de $45 x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 48 = 0$

Etapa 1.9.3

Fatore $3$ de $48$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Etapa 1.9.4

Fatore $3$ de $3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2})$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Etapa 1.9.5

Fatore $3$ de $3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16)$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Etapa 1.10

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Etapa 1.11

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 u + 16) = 0$

Etapa 1.12

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.12.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ e cuja soma é $b = 15$ .

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Etapa 1.12.1.1

Fatore $15$ de $15 u$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 (u) + 16) = 0$

Etapa 1.12.1.2

Reescreva $15$ como $- 1$ mais $16$

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 16) u + 16) = 0$

Etapa 1.12.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 16 u + 16) = 0$

Etapa 1.12.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.12.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 16 u + 16) = 0$

Etapa 1.12.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 16 (- u - 1)) = 0$

Etapa 1.12.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 1$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 16)) = 0$

Etapa 1.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 16)) = 0$

Etapa 1.14

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Etapa 1.15

Fatore.

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Etapa 1.15.1

Fatore.

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Etapa 1.15.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Etapa 1.15.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 1.15.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 1.16

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

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Etapa 1.16.1

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 1.16.2

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.16.3

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.18

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.18.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.18.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.18.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.18.2

Some $1$ e $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.19

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.20

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.21

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Etapa 1.22

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.23

Reordene os termos.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Etapa 1.24

Fatore.

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Etapa 1.24.1

Reescreva $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.24.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.24.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 4) (x - 4) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Etapa 1.24.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Etapa 1.24.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 1.24.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 6.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 6.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 6.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 6.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4, 3, i, - i$

Etapa 8