Álgebra Exemplos

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 16 x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $4 x$ de $16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ .

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $u^{2} + 7 u + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $7$ .

$3, 4$

Etapa 1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.7

Fatore $x^{2} + 4$ de $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $4 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.7.2

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

Etapa 1.7.3

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

Etapa 1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

Etapa 1.9

Fatore $4 u + u^{2} + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

Etapa 1.10

Fatore.

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Etapa 1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 3.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 3.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

Etapa 7