Álgebra Exemplos

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$ é indefinida.

$x = 4$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 (x) - 5}{x - 4}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$\frac{3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5}{x - 4}$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5}{x - 4}$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5}{x - 4}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{x - 4}$

Etapa 5.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 5)}{x - 4}$

Etapa 5.2

Expanda $(x - 1) (3 x + 5)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x + 5) - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.5

Reordene $x$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.6

Reordene $x$ e $5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.7

Remova os parênteses.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $3$ por $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.14

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 5}{x - 4}$

Etapa 5.2.15

Subtraia $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 12 x$ .

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $14 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					+	$14 x$	-	$56$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $14 x - 56$ .

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$
							+	$51$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$3 x + 14 + \frac{51}{x - 4}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 3 x + 14$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 4$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 3 x + 14$

Etapa 7