Álgebra Exemplos

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Etapa 1

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Etapa 2

Como há $3$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $3$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes positivas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $(3 - 2)$ ).

Raízes positivas: $3$ ou $1$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $x$ por $- x$ e repita a comparação de sinais.

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 4.8.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.10

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Etapa 5

Como há $1$ mudança de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existe, no máximo, $1$ raiz negativa (regra dos sinais de Descartes).

Raízes negativas: $1$

Etapa 6

O número possível de raízes positivas é $3$ ou $1$ , e o número possível de raízes negativas é $1$ .

Raízes positivas: $3$ ou $1$

Raízes negativas: $1$