Álgebra Exemplos

f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Etapa 1

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Etapa 2

Como há

3

$3$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo,

3

$3$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes positivas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex.,

(3 - 2)

$(3 - 2)$ ).

Raízes positivas:

3

$3$ ou

1

$1$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua

x

$x$ por

- x

$- x$ e repita a comparação de sinais.

f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a

- x

$- x$ .

f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.2

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

4

$4$ .

f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.3

Multiplique

x^{4}

$x^{4}$ por

1

$1$ .

f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a

- x

$- x$ .

f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.5

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

3

$3$ .

f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

5

$5$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a

- x

$- x$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8

Multiplique

- 1

$- 1$ por

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Mova

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8.2

Multiplique

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ por

- 1

$- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

1

$1$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.8.3

Some

2

$2$ e

1

$1$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.9

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

3

$3$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

Etapa 4.10

Multiplique

- 1

$- 1$ por

8

$8$ .

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Etapa 5

Como há

1

$1$ mudança de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existe, no máximo,

1

$1$ raiz negativa (regra dos sinais de Descartes).

Raízes negativas:

1

$1$

Etapa 6

O número possível de raízes positivas é

3

$3$ ou

1

$1$ , e o número possível de raízes negativas é

1

$1$ .

Raízes positivas:

3

$3$ ou

1

$1$

Raízes negativas:

1

$1$