Álgebra Exemplos

$2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$

Etapa 1

Defina $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ como igual a $0$ .

$2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 7, \pm 3.5$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 23 \cdot {0.5}^{2} + 58 \cdot 0.5 - 35$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 23 \cdot {0.5}^{2} + 58 \cdot 0.5 - 35$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 + 23 \cdot {0.5}^{2} + 58 \cdot 0.5 - 35$

Etapa 2.1.1.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 + 23 \cdot 0.25 + 58 \cdot 0.5 - 35$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $23$ por $0.25$ .

$0.25 + 5.75 + 58 \cdot 0.5 - 35$

Etapa 2.1.1.3.6

Some $0.25$ e $5.75$ .

$6 + 58 \cdot 0.5 - 35$

Etapa 2.1.1.3.7

Multiplique $58$ por $0.5$ .

$6 + 29 - 35$

Etapa 2.1.1.3.8

Some $6$ e $29$ .

$35 - 35$

Etapa 2.1.1.3.9

Subtraia $35$ de $35$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35}{2 x - 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$58 x$

$35$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $24 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $24 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $70 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$
							+	$70 x$	-	$35$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $70 x - 35$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$
							-	$70 x$	+	$35$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$23 x^{2}$	+	$58 x$	-	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	-	$35$
							-	$70 x$	+	$35$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 12 x + 35$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $2 x^{3} + 23 x^{2} + 58 x - 35$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $12$ .

$5, 7$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.5

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 5, - 7$

Etapa 3