Álgebra Exemplos

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$

Etapa 1

Defina $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $- 0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $- 0.5$ no polinômio.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 0.125$ .

$- 0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Etapa 2.1.1.3.4

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$- 0.25 - 3 \cdot 0.25 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $0.25$ .

$- 0.25 - 0.75 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Etapa 2.1.1.3.6

Subtraia $0.75$ de $- 0.25$ .

$- 1 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Etapa 2.1.1.3.7

Multiplique $- 32$ por $- 0.5$ .

$- 1 + 16 - 15$

Etapa 2.1.1.3.8

Some $- 1$ e $16$ .

$15 - 15$

Etapa 2.1.1.3.9

Subtraia $15$ de $15$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $- 0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}{2 x + 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ por $2 x + 1$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$32 x$

$15$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 30 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							-	$30 x$	-	$15$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 30 x - 15$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ como um conjunto de fatores.

$(2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 x + 1) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 1) (x - 5) (x + 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 5, - 3$

Etapa 3