Álgebra Exemplos

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$

Etapa 1

Defina $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

Etapa 2.1.3

Substitua $- 4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $- 4$ no polinômio.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$- 64 - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$- 64 - 2 \cdot 16 + 10 \cdot - 4 + 136$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$- 64 - 32 + 10 \cdot - 4 + 136$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $32$ de $- 64$ .

$- 96 + 10 \cdot - 4 + 136$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $10$ por $- 4$ .

$- 96 - 40 + 136$

Etapa 2.1.3.7

Subtraia $40$ de $- 96$ .

$- 136 + 136$

Etapa 2.1.3.8

Some $- 136$ e $136$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $- 4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136}{x + 4}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ por $x + 4$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$10 x$

$136$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} - 24 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $34 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							+	$34 x$	+	$136$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $34 x + 136$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 6 x + 34$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ como um conjunto de fatores.

$(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 6 x + 34$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 6 x + 34$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 6 x + 34 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 34$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 136}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $136$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $10$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 5 i$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Etapa 3