Álgebra Exemplos

$y = \log_{4} (x) + 1$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{4} (y) + 1$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{4} (y) + 1 = x$ .

$\log_{4} (y) + 1 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\log_{4} (y) = x - 1$

Etapa 2.3

Reescreva $\log_{4} (y) = x - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

Etapa 2.4

Reescreva a equação como $y = 4^{x - 1}$ .

$y = 4^{x - 1}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

Etapa 4.2.3

Combine os termos opostos em $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

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Etapa 4.2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

Etapa 4.2.3.2

Some $\log_{4} (x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

Etapa 4.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (4^{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Use as regras logarítmicas para mover $x - 1$ para fora do expoente.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

Etapa 4.3.3.2

A base do logaritmo $4$ de $4$ é $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 4.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$