Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{20 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{20 - 4}$

Etapa 4.3.3.4

Subtraia $4$ de $20$ .

$\sqrt{16}$

Etapa 4.3.3.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.3.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 4)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$(0, 4)$

Etapa 5.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 5.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (4))$

Etapa 5.6

Simplifique.

$(0, - 4)$

Etapa 5.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Etapa 6