Álgebra Exemplos

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ .

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.2

Expanda $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 1.3.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.1.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.3.2

Some $\frac{x}{3}$ e $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.4

Combine $2$ e $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Etapa 1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Etapa 2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.2

Divida $3$ por $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 3

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 4

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Etapa 4.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 5

Avalie $f (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 5.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 5.2.1.7.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Etapa 5.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Etapa 5.2.2.2.5

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 6

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Etapa 7