Álgebra Exemplos

$\frac{1}{x + 1} > \frac{2}{x - 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{2}{x - 1}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{2}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{2}{x - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} > 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 1 - 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.5.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.5.4

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{- x - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.7

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 3$

$x = - 1$

$x = 1$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = - 3, - 1, 1$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(- 6) + 1} > \frac{2}{(- 6) - 1}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 0.2$ é maior do que o lado direito $- 0.\overline{285714}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(- 2) + 1} > \frac{2}{(- 2) - 1}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $- 0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(0) + 1} > \frac{2}{(0) - 1}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{(4) + 1} > \frac{2}{(4) - 1}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $0.2$ não é maior do que o lado direito $0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 3$ ou $- 1 < x < 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1)$

Etapa 14