Álgebra Exemplos

$x + 1 < \frac{5 x - 3}{x - 3}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{5 x - 3}{x - 3}$ dos dois lados da desigualdade.

$x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3} < 0$

Etapa 2

Simplifique $x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x (x - 3)}{x - 3} - \frac{5 x - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x - 3) - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - (5 x) - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.3.7

Subtraia $5 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Etapa 2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3} < 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 + x - 3}{x - 3} < 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Some $- 8 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 - 3}{x - 3} < 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 0}{x - 3} < 0$

Etapa 2.6.3

Some $x^{2} - 7 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 7 x}{x - 3} < 0$

Etapa 2.6.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 7 x$ .

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Etapa 2.6.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 7 x}{x - 3} < 0$

Etapa 2.6.4.2

Fatore $x$ de $- 7 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 7}{x - 3} < 0$

Etapa 2.6.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 7$ .

$\frac{x (x - 7)}{x - 3} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 7$

$x = 3$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 0, 7, 3$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 0$

Etapa 8.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) + 1 < \frac{5 (- 2) - 3}{(- 2) - 3}$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $2.6$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) + 1 < \frac{5 (2) - 3}{(2) - 3}$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $- 7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $3 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$(5) + 1 < \frac{5 (5) - 3}{(5) - 3}$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $6$ é menor do que o lado direito $11$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$(10) + 1 < \frac{5 (10) - 3}{(10) - 3}$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $11$ não é menor do que o lado direito $6.\overline{714285}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $3 < x < 7$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (3, 7)$

Etapa 13