Álgebra Exemplos

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 8$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, - 1, 1$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 180$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 60$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $198$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 8$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

Etapa 12