Álgebra Exemplos

$\frac{1}{- x} \leq \frac{5}{7 - x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{5}{7 - x}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Etapa 2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Etapa 2.3

Para escrever $- \frac{5}{7 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (7 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{5}{7 - x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{(7 - x) x} \leq 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(7 - x) x$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (7 - x) - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{- 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 2.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 + 1 x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.6.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 7 + x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.6.4

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 7 - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.7

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{- 1 (7) - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 1 (7) - (4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.9

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - (4 x)$ .

$\frac{- 1 (7 + 4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$7 + 4 x = 0$

$7 - x = 0$

Etapa 4

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 7$

Etapa 5

Divida cada termo em $4 x = - 7$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 x = - 7$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7}{4}$

Etapa 6

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- x = - 7$

Etapa 7

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - \frac{7}{4}$

$x = 7$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, - \frac{7}{4}, 7$

Etapa 10

Encontre o domínio de $- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (7 - x) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$7 - x = 0$

Etapa 10.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 10.2.3

Defina $7 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.3.1

Defina $7 - x$ como igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Etapa 10.2.3.2

Resolva $7 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- x = - 7$

Etapa 10.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 10.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 10.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 10.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.3.2.2.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Etapa 10.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (7 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{7}{4}$

$- \frac{7}{4} < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{7}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{7}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- (- 4)} \leq \frac{5}{7 - (- 4)}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $0.25$ é menor do que o lado direito $0.\overline{45}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{7}{4} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{7}{4} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- (- 1)} \leq \frac{5}{7 - (- 1)}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0.625$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- (4)} \leq \frac{5}{7 - (4)}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{1}{- (10)} \leq \frac{5}{7 - (10)}$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $- 0.1$ é maior do que o lado direito $- 1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{7}{4}$ Verdadeiro

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - \frac{7}{4}$ Verdadeiro

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{7}{4}$ ou $0 < x < 7$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup (0, 7)$

Etapa 15