Álgebra Exemplos

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$ é indefinida.

$x = 3$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x - 3}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x - 3}$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x - 3}$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x - 3}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x - 3}$

Etapa 5.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x - 3}$

Etapa 5.2

Expanda $(2 x - 1) (x - 2)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (x - 2) - 1 (x - 2)}{x - 3}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2)}{x - 3}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.4

Mova $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 1 x + 2}{x - 3}$

Etapa 5.2.11

Subtraia $1 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{2}$

$5 x$

$2$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 6 x$ .

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					+	$x$	-	$3$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 3$ .

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					-	$x$	+	$3$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					-	$x$	+	$3$
							+	$5$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x + 1 + \frac{5}{x - 3}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 2 x + 1$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 3$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 2 x + 1$

Etapa 7